اصول آنالیز حقیقی

آنالیز حقیقی بر سه اصل مهم پایه ریزی شده است:

1. هر مجموعه اندازه پذیر تقریبا اجتماعی متناهی از بازه هاست

2. هر تابع اندازه پذیر تقریبا پیوسته است

3. هر دنباله همگرای نقطه ای از توابع اندازه پذیر تقریبا همگرای یکنواخت است

آنالیز حقیقی دارای سه برنامه بنیادی است:

1. گسترش دامنه تعریف یک تابع (اوریسون و تیتز)

2. گسترش به فضای حاصلضربی (تیخونف)

3. تقریب توابع با خانواده ای جبری-بسته از توابع (استون-وایراشتراس)

آنالیز حقیقی دارای تعدادی قضیه مهم است:

1. هر تابعک کراندار بر Lp([a, b]) ،با یک تابع از کلاس مزدوج Lq([a, b])، قابل ساختن است (قضیه نمایش ریس)

2. حد نقطه ای یک خانواده از توابع یکنواخت انتگرال پذیر بر یک مجموعه با اندازه متناهی انتگرال پذیر است و انتگرال حد با حد انتگرال برابر است (قضیه همگرایی ویتالی)

3. توابع یکنوا بر بازه های باز تقریبا همه جا مشتق پذیرند (قضیه مشتق پذیری لبگ)

4. هر عضو خانواده توابع با تغییر کراندار بر یک مجموعه بسته تقریبا همه جا مشتق پذیر است (قضیه ژردن)

5. دیودونه مهمترین قضیه کل آنالیز را قضیه کرنل شوارتز می دانست
   با بیانی غیر دقیق: فضای توزیع ها روی حاصلضرب دو زیرمجموعه باز از فضای اقلیدسی با فضای عملگرهای خطی میان توزیع های روی آن دو زیرمجموعه باز یکسان است
   
   ادامه دارد ...

از منابع و کتابهای کلاسیک آنالیز حقیقی چه می دانیم؟

1. آنالیز حقیقی مورگان(Frank Morgan, Real Analysis, AMS, 2005)

2. آنالیز حقیقی مدرن زیمر(William P. Ziemer, Modern Real Analysis , Springer, 2007)

3. آنالیز حقیقی رویدن( Halsey Royden and Patrick Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson, 2010)

4. آنالیز حقیقی و مختلط رودین(Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mc Graw Hil, 1987)

5. آنالیز حقیقی فولند(Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Wiley, 1999)