جبر پیش دانشگاهی: از پایه تا پیشرفته

روز نخست: عمل های جبری روی حرف ها (در آینده صدا گذاری خواهد شد)

با اقدامات زیر حروف را با یکدیگر ترکیب می کنیم
ضرب یک عدد در یک حرف مانند: $2a, -3b, \sqrt{5}x, \; ...$
جمع حرف ها و مضرب های عددی آنها: $a+x, 2a-4\sqrt{3}b, \; ...$
دسته بندی، پرانتز گذاری و ضرب حروف و مضرب ها و ترکیب های عددی آنها:

$⟮2x+3y-6a⟯⟮z-w+a⟯-4⟮2a-11c⟯,-3axy, ...$
هدف اصلی ما پیاده سازی روشی است که بتوان با این عارتها کار کرد، آنها را اده کرد، تبدیل نمود و یا در قالب های دیگری قرار داد. برای این منظور لازم است که ویژگی عمل های به کار رفته را به درستی دریابیم. به همین دلیل کارکردن با عبارتهای جبری حروفی را با بررسی ویژگی های عمل های پایه مورد استفاده آغاز می کنیم.

نام ویژگی های جبری زیر را بنویسید

1. پاسخ

   $\forall \mathrm{a,b}: \; a+b=b+a$
   جاجایی عمل جمع

2. پاسخ

   $\forall a: \; a+0=0+a=a$
   عضو خنثی عمل جمع

3. پاسخ

   $\forall a: \; a+⟮-a⟯=⟮-a⟯+a=0$
   عضو قرینه در عمل جمع

4. پاسخ

   $\forall \mathrm{a,b,c}: \; a+⟮b+c⟯=⟮a+b⟯+c$
   شرکتی پذیری عمل جمع

5. پاسخ

   $\forall \mathrm{a,b}: \; a\times b=b\times a$
   جاجایی عمل ضرب

6. پاسخ

   $\forall a: \; a\times 1=1\times a=a$
   عضو خنثی عمل ضرب

7. پاسخ

   $\forall a: \; a\times \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\times a=1$
   عضو وارون در عمل ضرب

8. پاسخ

   $\forall \mathrm{a,b,c}: \; a\times ⟮b\times c⟯=⟮a\times b⟯\times c$
   شرکت پذیری عمل ضرب

9. پاسخ

   $\forall \mathrm{a,b,c}: \; a\times ⟮b+c⟯=a\times b+a\times c$
   پخش پذیری عمل ضرب در جمع

10. پاسخ

    $\forall a: \; a\times 0=0\times a=0$
    اثر ضربی عضو خنثی عمل جمع

۱ ویژگی های تکمیلی

بسیاری از ویژگی های جبری اعداد برای حروف نیز برقرار است
به طور معمول اگر بین دو حرف یا بین دو عبارت عمل ضرب وجود دارد، از نوشتن علامت ضرب خودداری می کنیم.
به عبارت دیگر اگر بین دو حرف یا بین دو عبارت علامتی وجود نداشت، عمل بین آنها را ضرب در نظر می گیریم.
$ab=a\times b,\; aA=a\times A, \; ⟮A+B⟯\times ⟮C+D⟯=⟮A+B⟯⟮C+D⟯$
$⟮A+B⟯⟮C+D⟯=AC+AD+BC+BD$
$-⟮-A⟯=A,\; -⟮+A⟯=-A,\; +⟮-A⟯=-A,\;$

۲ ویژگی های تکمیلی

ویژگی های مربوط به توان نیز برقرار است
$A^0=1, A^1=A, \; A\times A=A^2, \; A\times A^2=A^3$,...

${⟮A+B⟯}^2=⟮A+B⟯⟮A+B⟯=A⟮A+B⟯+B⟮A+B⟯$
$⟮AB{⟯}^n=A^n{B}^n, \; ⟮aA{⟯}^n=a^n{A}^n$
$A^{-1}=\frac{1}{A},\; A^{-2}=\frac{1}{A^2},\; A^{-3}=\frac{1}{A^3},\; ...$
$\frac{A}{B}=A{B}^{-1}$

هنگام کار با عبارتهای جبری به مهارتهایی نیاز داریم.
یکی از این آنها مهارت ساده سازی عبارت جبری. منظور از ساده سازی این است که عملیات جبری را انجام دهیم و عبارتی با کوتاه ترین طول و تا حد ممکن کمترین تعداد عملیات ممکن بدست آوریم. به عنوان مثال به نمونه های زیر توجه کنید
$\frac{⟮a+b{⟯}^2-⟮a-b{⟯}^2}{ab}=\frac{⟮a+b⟯⟮a+b⟯-⟮a-b⟯⟮a-b⟯}{ab}=\frac{⟮aa+ab+ba+bb⟯-⟮aa-ab-ba+bb⟯}{ab}=\frac{⟮a^2+2ab+b^2⟯-⟮a^2-2ab+b^2⟯}{ab}$
$=\frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{ab}=\frac{4ab}{ab}=4$
$\frac{⟮a^2+1⟯⟮a^2-1⟯+1}{a+1}=\frac{⟮a^2⟯⟮a^2⟯+⟮a^2⟯⟮+1⟯+1⟮a^2⟯+1⟮-1⟯+1}{a+1}=\frac{a^4-a^2+a^2-1+1}{a+1}=\frac{a^4}{a+1}$

مهارتهای دیگر در طی بخش های بعدی درس مطرح خواهند شد

تمرین

با استفاده از ویژگی هایی که تا اینجا فرا گرفته اید، عبارتهای جبری زیر را تا جاییکه ممکن است ساده کنید
$\frac{⟮a+b{⟯}^2-4ab+⟮a-b{⟯}^2}{a-b},\; \frac{⟮x^3-1⟯\; ⟮x^3+2⟯+2}{x^3+1},\; a⟮a+b⟯+b⟮a-b⟯-a^2⟮1+b⟯+b^2⟮1+a⟯-ab⟮b-a⟯$

تمرین

با استفاده از ویژگی هایی که تا اینجا فرا گرفته اید، درستی رابطه زیر را نشان دهید
$\frac{⟮a^3-b⟯\; ⟮b^3-a⟯+a^3⟮a-1⟯+b^3⟮b-1⟯-ab⟮1+a^2{b}^2⟯}{a^3+b^3}=-1$

پایاین روز نخست

روز دوم: عبارت های جبری ... ادامه دارد ...