یادداشت ها

1. بیشتر بخوانیم

   کدام فرمول ریاضی، زیبا ترین است؟
   بسیار دشوار است که فرمولی را زیبا ترین فرمول ریاضی بنامیم. ... ولی به طور قطع، فرمول اویلر $e^{\mathrm{<mi>\; i\pi </mi>}}+1=0$ یکی از زیباترین فرمول های ریاضی است. زیرا در آن کمیت های مهمی مانند عدد اویلر ، e عدد پی، π; و عدد موهومی i به همراه دو ثابت مهم ریاضی یعنی عدد صفر 0 و عدد یک 1 و عملیات ریاضی جمع + و ضرب × و نشان تساوی = در آن وجود دارند.
   چرا این فرمول درست است؟
   نخست به تعریف $e^{\mathrm{z;}}$ برای عدد مختلط $\mathrm{z\in \; C}$ .می پردازیم
   $e^z={\lim }_{\mathrm{n\; \to \; \infty }}⟮\; 1+\frac{z}{n}{⟯}^n$
   بر این اساس:
   ${\lim }_{\mathrm{z\; \to \; 0}}⟮\frac{e^z-1}{z}⟯={\lim }_{\mathrm{z\; \to \; 0}}⟮\frac{{\lim }_{\mathrm{n\; \to \; \infty }}⟮\; 1+\frac{z}{n}{⟯}^n-1}{z}⟯={\lim }_{\mathrm{z\; \to \; 0}}{\lim }_{\mathrm{n\; \to \; \infty }}⟮\frac{⟮\; 1+\frac{z}{n}{⟯}^n-1}{z}⟯={\lim }_{\mathrm{n\; \to \; \infty }}{\lim }_{\mathrm{z\; \to \; 0}}⟮\frac{⟮\; 1+\frac{z}{n}{⟯}^n-1}{z}⟯=1$
   اینک قرار می دهیم $w=e^{\mathrm{iy}}$ و از $w$ نسبت به $y$ مشتق می گیریم
   $w\text{'}={\lim }_{\mathrm{h\; \to \; 0}}⟮\frac{e^{\mathrm{i(y+h)}}-e^{\mathrm{iy}}}{h}⟯=e^{\mathrm{iy}}{\lim }_{\mathrm{h\; \to \; 0}}⟮\frac{e^{\mathrm{ih}}-1}{h}⟯=e^{\mathrm{iy}}{\lim }_{\mathrm{h\; \to \; 0}}i⟮\frac{e^{\mathrm{ih}}-1}{ih}⟯=i{e}^{\mathrm{iy}}{\lim }_{\mathrm{z\; \to \; 0}}⟮\frac{e^z-1}{z}⟯=i{e}^{\mathrm{iy}}$
   در نتیجه $w\text{'}\text{'}=-e^{\mathrm{iy}}=-w$
   ما دو تابع می شناسیم که دارای ویژگی $w\text{'}\text{'}=-w$ هستند. که عبارتند از $w_1=\sin ⟮y⟯$ و $w_2=\cos ⟮y⟯$ بر اساس قضیه وجود و یکتایی و پاسخ معادله دیفرانسیل خطی، تابع $w$ به صورت زیر نوشته می شود.
   $w=A\sin ⟮y⟯+B\cos ⟮y⟯$ از طرف دیگری به راحتی می توان مشاهده کرد که $w⟮0⟯=1$ و $w\text{'}⟮0⟯=i$ بدین ترتیب دستگاه معادلات خطی زیر و پاسخ آن را خواهیم داشت:
   $w⟮0⟯=A\sin ⟮0⟯+B\cos ⟮0⟯=1$   $w\text{'}⟮0⟯=-B\sin ⟮0⟯+A\cos ⟮0⟯=i$ $\; \to \; A=i,\; B=1 \; \to \; $ w=e^{\mathrm{iy}}=\cos ⟮y⟯+i\sin ⟮y⟯$$
   اینک اگ قرار دهیم $y=\pi$ آنگاه
   $e^{\mathrm{i\pi }}=-1 \; \to \; e^{\mathrm{i\pi }}+1=0$
   ... ادامه دارد

2. بیشتر بخوانیم

   سایبرنتیکس چیست؟
   عنوان سایبر نتیک در نیمه اول سده بیستم میلادی توسط نوربرت وینر مطرح گردید. ... نوربرت وینر (1964-1894) میلادی (۱۳۴۳-۱۲۷۳) ه. ش. ریاضیدان و مخترع مفهوم سایبرنتیک است. تحصیلات او در شاخه های ریاضی، جانور شناسی در کنار دکترای او در فلسفه با موضوع منطق ریاضی ایده تازه ای را به ذهن او رساند. این ایده توسط نوربرت وینر سایبرنتیک خوانده شد و در نهایت در سال ۱۹۴۸ کتابی در این خصوص نوشت. این ریاضیدان در طول دوران فعالیت علمی خود به حوزه های گوناگون ریاضی پرداخت ولی در هر شاخه ای که به فعالیت می پرداخت، تبلیغ سایبرنتیک را فراموش نمی کرد. تحصیلات ترکیبی او در ریاضی و جانورشناسی به او اطمینان داده بود که کنترل و مخابرات میان ماشین ها و جانوران امری مهم، قابل انجام، و از نیازهای آینده است. در کنار دکارت (فیلسوف و ریاضیدان) که به بیان اهمیت روشهای ریاضی در پزشکی پرداخت و گالیله (فیلسوف و فیزیکدان) که پدر ارتوپدی مدرن گردید، نوربرت وینر به عنوان ریاضیدان با دانش جانورشناسی، ارائه دهنده اولیه یک مقوله بین رشته ای اصیل است. در پایان سده بیستم مقوله مشابه آن، از جانبی دیگر، زیست شناسی سامانه ها است.
   ... ادامه دارد

3. بیشتر بخوانیم

   ریاضیات فازی چیست؟
   بنا بر نظریه کانتور ... ... به زودی

4. بیشتر بخوانیم

   احتمال چیست؟
   برای درک بهتر ... ... به زودی

5. بیشتر بخوانیم

   هندسه چیست؟
   قدیمی ترین درک انسان ... ... به زودی

6. بیشتر بخوانیم

   آیا هر عددی اهمیت ویژه خود را دارد؟
   هنگامی که از ویژگی های اعداد صحبت می کنیم ... ... به زودی